解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
序列 $z_n=\frac{n!}{n^n} i^n$ 是否有极限？若有，求出其极限。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n}{n!}$ 是否收敛？是否绝对收敛？
确定幂级数的收敛半径 $\sum_{n=0}^{\infty} \cos (i n) z^n$
求$\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+a^n\right) z^n$ 收敛半径
将下列各函数展开为 $z$ 的幂级数，并指出其收敛区域。
$\frac{1}{(1-z)^2}$
展开为幂级数 $e^{\frac{z}{z-1}}$
展开幂级数 $\int_0^z e^{z^2} d z$
讨论级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(z^{n+1}-z^n\right)$ 的收敛性。
求下列函数在指定点 $z_0$ 处的 Taylor 展式。$\frac{1}{4-3 z}, z_0=1+i$
求下列函数在指定点 $z_0$ 处的 Taylor 展式 $\sin z, z_0=1$
将下列各函数在指定圆环域内展为 Laurent 级数。 $z^2 e^{\frac{1}{z}}, \quad 0 < |z| < \infty$
将下列各函数在指定圆环域内展为 Laurent 级数。 $\frac{z^2-2 z+5}{(z-2)\left(z^2+1\right)}, 1 < |z| < 2$
将 $\frac{1}{\left(z^2+1\right)^2}$ ，在 $z=i$ 的去心邻域内展为 Laurent 级数。
证明在 $f(z)=\cos \left(z+\frac{1}{z}\right)$ 以 $z$ 的各幂表出的 Lanrent 展开式中的各系数为：
$$
C_n=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos (2 \cos \theta) \cos n \theta d \theta, n=0, \pm 1, \cdots \cdots
$$
提示：令 C 为单位圆 $|z|=1$ ，在 C 上取积分变量 $z=e^{i \theta}$ ，则 $z+\frac{1}{z}=2 \cos \theta, d z=i e^{i \theta} d \theta$ 。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明 $\sum_{n=1}^{\infty} z^{-n}$ 在 $|z|>1$ 内解析。