填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $f(x)$ 是 $x$ 的二次函数, 且 $f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2 x$, 求 $f(x)$ 的表达式.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{\sin 2 x}\right)}{e^x-1}=3$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x \cos x}{x^3}$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{\frac{1}{x}}+1, \quad x < 0, \\ a, \quad x=0, \\ \frac{\sin (b x)}{x}, x>0\end{array}\right.$, 试确定 $a, b$ 之值, 使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin ^2 x}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0\end{array}\right.$, 求 $f^{\prime}(x)$.
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\int \frac{1}{x^2 \cdot \sqrt{1+x^2}} d x$.
求方程 $x y^{\prime}-y=x \tan \frac{y}{x}$ 的通解.