单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设对任意的 $x$, 总有 $\varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)$, 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}|g(x)-\varphi(x)|=0$ 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$
$\text{A.}$ 存在且等于零
$\text{B.}$ 存在但不等于零
$\text{C.}$ 一定不存在
$\text{D.}$ 不一定存在
$f(x)$ 在 $x_0$ 点可导, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 点
$\text{A.}$ 可能连续
$\text{B.}$ 不连续
$\text{C.}$ 连续
$\text{D.}$ 以上都不对
若 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 连续点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 跳跃间断点
$f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的右极限 $f\left(x_0^{+}\right)$和左极限 $f\left(x_0^{-}\right)$存在且相等是 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的 $\qquad$条件
$\text{A.}$ 必要
$\text{B.}$ 充分
$\text{C.}$ 充要
$\text{D.}$ 充分不必要
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2 \sin \frac{1}{x}=$
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$, 其中 $a, b$ 是常数, 则 $a=$ $\qquad$ , $b=$
若 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0+\Delta x\right)}{\Delta x}=$
$y=\cos x$ 在 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 的切线方程
$y=\tan f(x)+f(\tan x)$, 则 $y^{\prime}=$
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x \sin \frac{3}{x}+\frac{\sin 2 x}{x}\right)$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{x-1}$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1+x+x^2-3}{1-x^3}$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2}\right)$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^3 x}$
求导 $y=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$
求导 $y=\ln x \cdot(\arcsin x)^2$
$y^x=x^y, x>0, y>0$, 求 $\frac{d y}{d x}$
$\left\{\begin{array}{c}x=\ln \sqrt{1+t^2} \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定 $y(x)$ 求 $\frac{d^2 y}{d x^2}$
求 $a, b$ 使函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+2 x+3 & x \leq 0 \\ a x+b & x>0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续可导
证明方程 $x=a \sin x+b, a>0, b>0$ 至少有一个正根并且不超过 $a+b$
$f(x)=x^2 \sin 2 x$ 求 $f^{(8)}(x)$
设 $x_1=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}, n=1,2, \cdots$, 试证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在, 并求此极限