解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f_n(x)=x n^{-x}(n=1,2, \cdots)$. 问 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 是否一致收敛.
计算极限
$$
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right) .
$$
设 $\left\{y_n\right\}$ 是趋于正无穷的严格递增数列, 求证:
$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n} \leq \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}
$$
设 $f(x)$ 连续, $g(x)=\frac{1}{n !} \int_0^x(x-t)^n f(t) \mathrm{d} t$, 计算 $g^{(n+1)}(x)$.
求函数 $f(x)=(1-x) \sqrt{|x|}$ 在 $(-1,1)$ 的极值点和极值.
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 连续可微, $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1(x \geq 1)$. 求证 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 一致连续.
设 $D=\left\{(x, y): x^2+y^2 \leq 1\right\}$, 实数 $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha^2+\beta^2=1$, 计算二重积分
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\iint_D \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{(1-\alpha x+\beta y)^2+(\beta x+\alpha y)^2}} .
$$
利用变换 $u=x+e^y, v=x-e^y$ 求解微分方程 $e^{2 y} z_{x x}-z_{y y}+z_y=0$.
计算 $f(x, y)=5 x^2+5 y^2-8 x y$ 在条件 $x^2+y^2-x y=75$ 下的最小值.
计算 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2023)}{2^{n+2023}}$.
计算 $\oint_L \frac{(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{x^2+y^2}, L$ 是 $x^2+2 y^2=1$ 沿逆时针方向.