单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c$, 其中 $k, c$ 为常数, 且 $c \neq 0$, 则 ( $)$
$\text{A.}$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $k=2, c=\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $k=3, c=\frac{1}{3}$.
曲面 $x^{2}+\cos (x y)+y z+x=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为
$\text{A.}$ $x-y+z=-2$.
$\text{B.}$ $x+y+z=0$.
$\text{C.}$ $x-2 y+z=-3$.
$\text{D.}$ $x-y-z=0$.
设 $f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|, b_{n}=2 \int_{0}^{1} f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots)$. 令 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x$, 则 $S\left(-\frac{9}{4}\right)=$ ( )
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$.
设 $L_{1}: x^{2}+y^{2}=1, L_{2}: x^{2}+y^{2}=2, L_{3}: x^{2}+2 y^{2}=2, L_{4}: 2 x^{2}+y^{2}=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线. 记 $I_{i}=\oint_{L_{i}}\left(y+\frac{y^{3}}{6}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-\frac{x^{3}}{3}\right) \mathrm{d} y(i=1,2,3,4)$, 则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=(\quad)$
性质，看图解
$\text{A.}$ $I_{1}$.
$\text{B.}$ $I_{2}$.
$\text{C.}$ $I_{3}$.
$\text{D.}$ $I_{4}$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$, 且 $\boldsymbol{B}$ 可逆,则
$\text{A.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组等价.
$\text{B.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组等价.
$\text{C.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组等价.
$\text{D.}$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组等价.
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为 ( )
$\text{A.}$ $a=0, b$ 为任意常数.
$\text{B.}$ $a=0, b=2$.
$\text{C.}$ $a=2, b=0$.
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数.
设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 是随机变量, 且 $X_{1} \sim N(0,1), X_{2} \sim N\left(0,2^{2}\right), X_{3} \sim N\left(5,3^{2}\right), p_{i}=P\left\{-2 \leqslant X_{i} \leqslant 2\right\}$ $(i=1,2,3)$, 则 ( )
$\text{A.}$ $p_{1}>p_{2}>p_{3}$.
$\text{B.}$ $p_{2}>p_{1}>p_{3}$.
$\text{C.}$ $p_{3}>p_{1}>p_{2}$.
$\text{D.}$ $p_{1}>p_{3}>p_{2}$.
设随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$, 给定 $\alpha(0 < \alpha < 0.5)$, 常数 $c$ 满足 $P\{X>c\}=\alpha$, 则 $P\left\{Y>c^{2}\right\}=$
$\text{A.}$ $\alpha$.
$\text{B.}$ $1-\alpha$.
$\text{C.}$ $2 \alpha$.
$\text{D.}$ $1-2 \alpha$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y-x=\mathrm{e}^{x(1-y)}$ 确定, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]=$
已知 $y_{1}=\mathrm{e}^{3 x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{3}=-x \mathrm{e}^{2 x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解, 则该方程的通解为 $y=$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t\end{array}(t\right.$ 为参数 $)$, 则 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=$
$\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵, $|\boldsymbol{A}|$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的行列式, $A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式. 若 $a_{i j}+A_{i j}=0$ $(i, j=1,2,3)$, 则 $|\boldsymbol{A}|=$
设随机变量 $Y$ 服从参数为 1 的指数分布, $a$ 为常数且大于零, 则 $P\{Y \leqslant a+1 \mid Y>a\}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$, 其中 $f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (t+1)}{t} \mathrm{~d} t$.
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件: $a_{0}=3, a_{1}=1, a_{n-2}-n(n-1) a_{n}=0(n \geqslant 2), S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的 和函数.
(I) 证明 $S^{\prime \prime}(x)-S(x)=0$;
(II) 求 $S(x)$ 的表达式.
求函数 $f(x, y)=\left(y+\frac{x^{3}}{3}\right) \mathrm{e}^{x+y}$ 的极值.
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数, 且 $f(1)=1$. 证明:
(I) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=1$;
(II) 存在 $\eta \in(-1,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$.
设直线 $L$ 过 $A(1,0,0), B(0,1,1)$ 两点, 将 $L$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到曲面 $\Sigma, \Sigma$ 与平面 $z=0, z=2$ 所围成的立体为 $\Omega$.
( I ) 求曲面 $\Sigma$ 的方程;
(II) 求 $\Omega$ 的形心坐标.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$. 当 $a, b$ 为何值时, 存在矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}-\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$, 并求所有矩阵 $\boldsymbol{C}$.
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}\right)^{2}+\left(b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}\right)^{2}$, 记
$$
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}
\end{array}\right) .
$$
( I ) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$;
(III)若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 正交且均为单位向量,证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$.
设随机变量 X 的概率密度为
$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{9} x^{2}, & 0 < x < 3 ， \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $
令随机变量 $ Y= \begin{cases}2, & X \leqslant 1, \\ X, & 1 < X < 2, \\ 1, & X \geqslant 2 .\end{cases} $
(I) 求 $Y$ 的分布函数;
(II) 求概率 $P\{X \leqslant Y\}$.
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\theta^{2}}{x^{3}} \mathrm{e}^{-\frac{\theta}{x}}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 为末知参数且大于零. $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$
为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(I) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(II) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.