解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求下列函数的拉氏变换．
（1）$t^2 \mathrm{e}^{3 t}$ ；
（2）$e^{-2 t} \sin 4 t$ ；
求下列函数的拉氏变换．
（3） $\mathrm{e}^{-2 t}(3 \cos 6 t-5 \sin 6 t)$ ；
（4）$t^2 \cos 2 t$ ．
计算积分 $\int_0^{+\infty} t \mathrm{e}^{-3 t} \sin t \mathrm{~d} t$ ；
计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-3 t}-\mathrm{e}^{-6 t}}{t} \mathrm{~d} t$.
求下列函数的拉氏变换
（1）$F(s)=\frac{4}{s-2}-\frac{3 s}{s^2+16}+\frac{5}{s^2+4}$ ；
（2）$F(s)=\frac{3 s+1}{(s-1)\left(s^2+1\right)}$ ；
求下列函数的拉氏变换
（3）$F(s)=\frac{3 s+7}{s^2-2 s-3}$ ；
（4）$F(s)=\frac{1}{s\left(s^2+4\right)}$ ；
求积分 $I=\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x\left(1+x^2\right)} \mathrm{d} x$ ．
求积分方程 $y(t)=t^2+\int_0^t y(\tau) \sin (t-\tau) \mathrm{d} \tau$ 的解．
求解微分方程
（1）$y^{\prime \prime}(t)-y^{\prime}(t)-6 y(t)=2, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0$ ；
（2）$y^{\prime \prime}(t)+t y^{\prime}(t)-y(t)=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ．