高等数学《不定积分》基础训练

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高等数学《不定积分》基础训练

一、解答题（共 14 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 计算

\int \frac{(x - 1)^{3}}{x^{2}} d x

;

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2. 计算

\int (2 e^{x} + \frac{3}{x}) d x

;

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3. 计算

\int \tan^{2} x d x

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4. 计算
(1)

\int x \sin x^{2} d x

;
(2)

\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x

;
(3)

\int \frac{\ln^{2} x}{x} d x

;
(4)

\int x \sqrt{1 - x^{2}} d x

;

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5. 计算
(1)

\int \frac{1}{1 + e^{- x}} d x

;
(2)

\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{(1 + x) \sqrt{x}} d x

;
(3)

\int \frac{1 + \ln x}{(x \ln x)^{2}} d x

;
(4)

\int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} d x

;

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6. 求下列不定积分
(1)

\int \frac{1}{(1 + x) \sqrt{x}} d x

;
(2)

\int \sqrt{1 + e^{2 x}} d x

;

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7. 求不定积分

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x (a > 0)

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8. 求不定积分

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} (a > 0)

;

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9. 求下列不定积分
(1)

\int x \cos x d x

;
(2)

\int x \arctan x d x

;
(3)

\int x^{3} \ln x d x

;

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10. 计算
(1)

\int \ln x d x

(2)

\int \arctan x d x

;
(3)

\int e^{x} \sin x d x

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11. 求不定积分

\int \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) d x

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12. 设连续函数

f (x)

的原函数为

\frac{\sin x}{x}

, 试求不定积分

\int x f^{'} (x) d x

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13. 计算
(1)

\int \frac{x + 2}{(2 x + 1) (x^{2} + x + 1)} d x

;
(2)

\int \frac{2 x + 3}{(x - 1) (x^{2} - 1)} d x

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14. 计算
(1)

\int \frac{2 x + 1}{x - 1} d x

;
(2)

\int \frac{4 x^{2} - x - 3}{2 x + 1} d x

;
(3)

\int \frac{2 x^{4} + x^{2} + 3}{x^{2} + 1} d x

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