单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设随机事件 $A, B, C$ 两两独立，且 $P(A), P(B), P(C) \in(0,1)$ ，则必有
$\text{A.}$ $C$ 与 $A-B$ 独立．
$\text{B.}$ $C$ 与 $A-B$ 不独立．
$\text{C.}$ $A \cup C$ 与 $B \cup \bar{C}$ 独立．
$\text{D.}$ $A \cup C$ 与 $B \cup \bar{C}$ 不独立．
某射手的命中率为 $p(0 < p < 1)$ ，该射手连续射击 $n$ 次才命中 $k$ 次 $(k \leqslant n)$ 的概率为
$\text{A.}$ $p^k(1-p)^{n-k}$ ．
$\text{B.}$ $\mathrm{C}_n^k p^k(1-p)^{n-k}$ ．
$\text{C.}$ $\mathrm{C}_{n-1}^{k-1} p^k(1-p)^{n-k}$ ．
$\text{D.}$ $\mathrm{C}_{n-1}^{k-1} p^{k-1}(1-p)^{n-k}$ ．
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $A, B, C$ 是随机事件，且 $A, C$ 互斥，$P(C)=\frac{1}{3}, P(A B)=\frac{1}{2}$ ，则
$$
P(A B \mid \bar{C})=
$$
某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面都是正面．
（I）如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为 $\_\_\_\_$
（II）如果他将这枚硬币又拋一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为 $\_\_\_\_$
设在一次试验中 $A$ 发生的概率为 $p$ ，现进行 $n$ 次独立试验，则 $A$ 至少发生一次的概率 $\_\_\_\_$ ；事件 $A$ 至多发生一次的概率为 $\_\_\_\_$
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A, B, C$ 为三事件，用 $A, B, C$ 的运算关系表示下列事件。
（1）$A$ 发生，$B$ 与 $C$ 不发生
（2）$A, B$ 都发生，而 $C$ 不发生
（3）$A, B, C$ 中至少有一个发生
（4）$A, B, C$ 都发生
（5）$A, B, C$ 都不发生
（6）$A, B, C$ 中不多于一个发生，即 $A, B, C$ 中至少有两个同时不发生
（7）$A, B, C$ 中不多于两个发生
（8）$A, B, C$ 中至少有两个发生
某人连头购买彩票，设事件 $A, B, C$ 分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖，试写出下列各事件意义：
（1） $\bar{C}$
（2）$\overline{A B} C$
（3）$(\overline{A B C}) \cup(\bar{A} B \bar{C}) \cup(\overline{A B} C)$ ；
（4）$A \cup B \cup C$
（5）$(A B) \bigcup(A C) \bigcup(B C)$
（6）$\overline{A B C}$
已知
$$
P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{3}, P(C)=\frac{1}{5} P(A B)=\frac{1}{10}, P(A C)=\frac{1}{15}, P(B C)=\frac{1}{20}, P(A B C)=\frac{1}{30}
$$
在人群中任选一人，此人戴眼镜的概率为 0.6 ，此人是女性的概率是 0.45 ，此人是男性且戴眼镜的概率为 0.35 ，求此人是女性或戴眼镜的概率？
一只口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、 2 只红球．从袋中取球两次，每次随机地取一只，考虑两种取球方式：
I．第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球．这种取球方式叫做放回抽样．
II．第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做不放回抽样．
试分别就上面两种情况求：
（1）取到的两只球都是白球的概率；
（2）取到的两只球颜色相同的概率；
（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率．
若在区间 $(0,1)$ 内随机任取两个数，求事件 $\left\{\right.$ 两数之和小于 $\left.\frac{6}{5}\right\}$ 的概率．
若在区间 $(0,1)$ 内随机任取两个数，其积大于 $\frac{1}{4}$ ，其和小于 $\frac{5}{4}$ 的概率．
设有某种零件共 100 个，其中 10 个是次品，其余为合格品．现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为
已知 $P(\bar{A})=0.3, P(B)=0.4, P(\overline{A B})=0.5$ ，求 $P(B \mid A \bigcup \bar{B})$ ．
已知 $P(A)=\frac{1}{4}, P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\frac{1}{2}$ ，求 $P(A \bigcup B)$
若 $0 < P(A) < 1$ ，且 $P(B \mid A)+P(\bar{B} \mid \bar{A})=1$ ，证明事件 $A, B$ 独立．
三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出密码的概率分别为 $1 / 5,1 / 3,1 / 4$ ，求密码能被破译的概率．
对同一目标接连地进行 3 次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为 $\frac{7}{8}$ ，则每次射击命中目标的概率 $p=$
设平面区域 $D$ 是由坐标为 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ 的四个点围成的正方形．今向 $D$ 内随机地投入 10 个点，求这 10 个点中至少有 2 个点落在曲线 $y=x^2$ 与直线 $y=x$ 所围成的区域 $D_1$ 内的概率．
设 $A, B$ 是两事件且 $P(A)=0.6, P(B)=0.7$ ，问
（1）在什么条件下 $P(A B)$ 取到最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下 $P(A B)$ 取到最小值，最小值是多少？
已知事件 $A 、 B$ 满足 $P(A B)=P(\bar{A} \cap \bar{B})$ ，记 $P(A)=p$ ，试求 $P(B)$ ．