单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-1)^n$ 在 $z=3$ 发散，则它必在 ．
$\text{A.}$ $z=-1$ 收敛；
$\text{B.}$ $z=-\frac{3}{2}$ 发散；
$\text{C.}$ $z=2$ 收敛；
$\text{D.}$ 以上全不正确．
设幂级数 $\sum_{n=0} a_n z^n=\mathrm{e}^{\frac{\cos z}{1-z}}$ ，则它的收敛半径为 ．
$\text{A.}$ 2 ；
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} ;$
$\text{C.}$ 1 ；
$\text{D.}$ $+\infty$ ．
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设复数 $z_1, z_2, \cdots, z_n, \cdots$ 全部位于半平面 $\operatorname{Re} z \geqslant 0$ 上，且 $\sum_{n=1}^{\infty} z_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} z_n^2$ 均收敛，证明 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|z_n\right|^2$ 也收敛。
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 发散，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n$ 的收敛半径为 1 ．
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{a^n+\mathrm{i} b^n}(a>0, b>0)$ 的收敛半径．
将下列各函数展开成 $z$ 的幂级数，并指出它们的收敛半径．
（1） $\mathrm{ch} z$ ；
（2） $\mathrm{e}^{\frac{z}{z-1}}$ ．
求函数 $f(z)=z^4 \mathrm{e}^{\frac{1}{z}}$ 在 $0 < |z| < +\infty$ 内的洛朗展开式．
将函数 $f(z)=\frac{\ln (2-z)}{z^2(z-1)}$ 在 $0 < |z-1| < 1$ 内展开成洛朗级数．
判别下列级数的剑散性：
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(6+5 \mathrm{i})^n}{8^n}$ ；
求下列幂级数的收敛半径：
（i）$\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{ch}\left(\frac{\mathrm{i}}{n}\right)(z-1)^n$ ；
（ii）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{z}{\ln \mathrm{i} n}\right)^n$ ．