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已知点 $N(a, 2 \sqrt{3})(a>0)$ 在抛物线 $C: y^2=2 p x(0 < p < 2 a)$ 上, $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点, 圆 $N$ 与直线 $x=\frac{p}{2}$ 相交于 $A 、 B$ 两点, 与线段 $N F$ 相交于点 $R$, 且 $|A B|=2 \sqrt{5}|R F|$. 若 $R$ 是线段 $N F$ 上靠近 $F$ 的四等分点, 则抛物线 $C$ 的方程为
                        
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