已知 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=|\overrightarrow{O A}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{O B}|=1$, 点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}(x, y \in \mathbf{R})$, 则下列说法中正确的是
A. 当 $x+y=1$ 时, $\overrightarrow{O P} \mid$ 的最小值为 1
B. 当 $x^2+y^2=1$ 时, $|\overrightarrow{O P}|=1$
C. 当 $x=\frac{1}{2}$ 时, $\triangle A B P$ 的面积为定值
D. 当 $y=\frac{1}{2}$ 时, $|\overrightarrow{A P}|=|\overrightarrow{B P}|$