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已知实数 $a, b, c$ 满足 $a b c=-1, a+b+c=4$,
$$
\frac{a}{a^2-3 a-1}+\frac{b}{b^2-3 b-1}+\frac{c}{c^2-3 c-1}=\frac{4}{9},
$$
求 $a^2+b^2+c^2$ 的值.
                        
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