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如图, 边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 为一棱镜的横截面, $M$ 为 $A B$ 边的中点。在截面所在平的, 光线自 $M$ 点 射入棱镜, 入射角为 $60^{\circ}$, 经折射后在 $B C$ 边的 $N$ 点恰好发生全反射, 反射光线从 $C D$ 边的 $P$ 点射出棱镜, 求棱镜的折射率以及 $P 、 C$ 两点之间的距离。
                        
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