题号:6442    题型:解答题    来源:2020-2022年高考物理光学电磁波相对论专题训练(Kmath科数青春回忆版)
如图, 边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 为一棱镜的横截面, $M$ 为 $A B$ 边的中点。在截面所在平的, 光线自 $M$ 点 射入棱镜, 入射角为 $60^{\circ}$, 经折射后在 $B C$ 边的 $N$ 点恰好发生全反射, 反射光线从 $C D$ 边的 $P$ 点射出棱镜, 求棱镜的折射率以及 $P 、 C$ 两点之间的距离。

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答案:
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光线在 $M$ 点发生折射有
$$
\sin 60^{\circ}=n \sin \theta
$$
由题知, 光线经折射后在 $B C$ 边的 $N$ 点恰好发生全反射, 则
$$
\begin{aligned}
& \sin C=\frac{1}{n} \\
& C=90^{\circ}-\theta
\end{aligned}
$$
联立有
$$
\begin{gathered}
\tan \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
n=\frac{\sqrt{7}}{2}
\end{gathered}
$$

根据几何关系有
$$
\tan \theta=\frac{M B}{B N}=\frac{a}{2 B N}
$$
解得
$$
N C=a-B N=a-\frac{a}{\sqrt{3}}
$$
再由
$$
\tan \theta=\frac{P C}{N C}
$$
解得

$$
P C=\frac{\sqrt{3}-1}{2} a
$$

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