数学试题讲解

设

z_{1}

是虚数,

z_{2} = z_{1} + \frac{1}{z_{1}}

是实数且

- \frac{1}{2} ⩽ z_{2} ⩽ \frac{1}{2}

.
(1)求

| z_{1} |

的值以及

z_{1}

实部的取值范围;
(2)若

ω = \frac{1 - {\bar{z}}_{1}}{1 + {\bar{z}}_{1}}

, 求证:

ω

为纯虚数.