设 $z_1$ 是虚数, $z_2=z_1+\frac{1}{z_1}$ 是实数且 $-\frac{1}{2} \leqslant z_2 \leqslant \frac{1}{2}$.
(1)求 $\left|z_1\right|$ 的值以及 $z_1$ 实部的取值范围;
(2)若 $\omega=\frac{1-\bar{z}_1}{1+\bar{z}_1}$, 求证: $\omega$ 为纯虚数.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$