江苏省苏州市2022-2023学年度第二学期高一期中调研试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $z_1$ 是虚数, $z_2=z_1+\frac{1}{z_1}$ 是实数且 $-\frac{1}{2} \leqslant z_2 \leqslant \frac{1}{2}$.
(1)求 $\left|z_1\right|$ 的值以及 $z_1$ 实部的取值范围;
(2)若 $\omega=\frac{1-\bar{z}_1}{1+\bar{z}_1}$, 求证: $\omega$ 为纯虚数.

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答案：

(1) 由题可设 $z_1=a+b \mathrm{i}, a, b \in \mathrm{R}$ 且 $b \neq 0$

因为 $z_2=z_1+\frac{1}{z_1}$, 所以 $z_2=z_1+\frac{1}{z_1}=a+b \mathrm{i}+\frac{1}{a+b \mathrm{i}}=\left(a+\frac{a}{a^2+b^2}\right)+\left(b-\frac{b}{a^2+b^2}\right) \mathrm{i}$
又因为 $z_2=z_1+\frac{1}{z_1}$ 是实数, 所以 $b-\frac{b}{a^2+b^2}=0$
由 $b \neq 0$ 可得 $a^2+b^2=1$
此时 $z_2=2 a$, 又因为 $-\frac{1}{2} \leqslant z_2 \leqslant \frac{1}{2}$, 所以 $-\frac{1}{4} \leqslant a \leqslant \frac{1}{4}$
所以 $\left|z_1\right|$ 的值为 $1, z_1$ 的实部的取值范围为 $\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right]$;

(2) 因为 $\omega=\frac{1-\overline{z_1}}{1+\bar{z}_1}=\frac{(1-a)+b \mathrm{i}}{(1+a)-b \mathrm{i}}$ $=\frac{[(1-a)+b \mathrm{i}] \cdot[(1+a)+b \mathrm{i}]}{(1+a)^2+b^2}=\frac{1-a^2-b^2+2 b \mathrm{i}}{1+2 a+a^2+b^2}=\frac{b \mathrm{i}}{1+a}$

又因为 $-\frac{1}{4} \leqslant a \leqslant \frac{1}{4}$ 且 $b \neq 0$, 所以 $\omega=\frac{1-\bar{z}_1}{1+\bar{z}_1}$ 为纯虚数.

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