数学试题讲解

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中国 “人造太阳” 在核聚变实验方而取得新突破, 该装置中用电磁场约束和加速高能离子, 其部分电磁场简化模型如图所示, 在三维坐标系

O x y z

中,

0 < z, d

空间内充满匀强磁场 I, 磁感应强度大小为

B

, 方向沿

x

轴正方向;

- 3 d, z < 0, y . .0

的空间内充满匀强磁场 II, 磁感应强度大小为

\frac{\sqrt{2}}{2} B

, 方向平行于

x O y

平面, 与

x

轴正方向夹角为

45^{\circ}; z < 0, y \leq 0

的空间内充满沿

y

轴负方向的匀强电场。质量为

m

、带电量为

+ q

的离子甲, 从

y O z

平面第三象限内距

y

轴为

L

的点

A

以一定速度出射, 速度方向与

z

轴正方向夹角为

β

, 在在

y O z

平面内运动一段时间后, 经坐标原点

O

沿

z

轴正方向进入磁场

I

。不计离子重力。
(1) 当离子甲从

A

点出射速度为

v_{0}

时, 求电场强度的大小

E

;
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动, 求进入磁场时的最大速度

v_{m}

;
(3) 离子甲以

\frac{q B d}{2 m}

的速度从

O

点沿

z

轴正方向第一次穿过

x O y

面进入磁场

I

, 求第四次穿过

x O y

平面的位置坐标 (用

d

表示);
(4) 当离子甲以

\frac{q B d}{2 m}

的速度从

O

点进入磁场

I

时, 质量为

4 m

、带电量为

+ q

的离子乙, 也从

O

点沿

z

轴正方向以相同的动能同时进入磁场

I

, 求两离子进入磁场后, 到达它们运动轨迹第一个交点的时间差

Δ t

(忽略离子间相互作用)。