山东省2022年普通高中物理学业水平等级考试（高考物理）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

中国 “人造太阳” 在核聚变实验方而取得新突破, 该装置中用电磁场约束和加速高能离子, 其部分电磁场简化模型如图所示, 在三维坐标系 $O x y z$ 中, $0 < z, d$ 空间内充满匀强磁场 I, 磁感应强度大小为 $B$, 方向沿 $x$ 轴正方向; $-3 d, z < 0, y . .0$ 的空间内充满匀强磁场 II, 磁感应强度大小为 $\frac{\sqrt{2}}{2} B$, 方向平行于 $x O y$ 平面, 与 $x$ 轴正方向夹角为 $45^{\circ} ; z < 0, y \leq 0$ 的空间内充满沿 $\mathrm{y}$ 轴负方向的匀强电场。质量为 $m$ 、带电量为 $+q$ 的离子甲, 从 $y O z$ 平面第三象限内距 $y$ 轴为 $L$ 的点 $\mathrm{A}$ 以一定速度出射, 速度方向与 $z$ 轴正方向夹角为 $\beta$, 在在 $y O z$ 平面内运动一段时间后, 经坐标原点 $O$ 沿 $z$ 轴正方向进入磁场 $\mathrm{I}$ 。不计离子重力。
(1) 当离子甲从 $\mathrm{A}$ 点出射速度为 $v_0$ 时, 求电场强度的大小 $E$;
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动, 求进入磁场时的最大速度 $v_{\mathrm{m}}$;
(3) 离子甲以 $\frac{q B d}{2 m}$ 的速度从 $O$ 点沿 $z$ 轴正方向第一次穿过 $x O y$ 面进入磁场 $\mathrm{I}$, 求第四次穿过 $x O y$ 平面的位置坐标 (用 $d$ 表示);
(4) 当离子甲以 $\frac{q B d}{2 m}$ 的速度从 $O$ 点进入磁场 $\mathrm{I}$ 时, 质量为 $4 m$ 、带电量为 $+q$ 的离子乙, 也从 $O$ 点沿 $z$ 轴正方向以相同的动能同时进入磁场 $\mathrm{I}$, 求两离子进入磁场后, 到达它们运动轨迹第一个交点的时间差 $\Delta t$ (忽略离子间相互作用)。

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答案：

【答案】(1) $\frac{m v_0^2 \sin \beta \cos \beta}{q L}$;
(2) $\frac{q B d}{m}$;
(3) $(d, d, 0)$
(4) $(7+7 \sqrt{2}) \frac{\pi m}{q B}$
【解析】详解】(1) 如图所示将离子甲从 $\mathrm{A}$ 点出射速度为 $v_0$ 分解到沿 $y$ 轴方向和 $z$ 轴方向, 离子受到的电场力沿 $y$ 轴负方向, 可知离子沿 $z$ 轴方向做匀速直线运动, 沿 $y$ 轴方向做匀减速直线运动, 从 $\mathrm{A}$ 到 $O$ 的过程, 有 $L=v_0 \cos \beta \cdot t$ $v_0 \sin \beta=$ at $\quad a=\frac{q E}{m}$ 联立解得 $E=\frac{m v_0^2 \sin \beta \cos \beta}{q L}$.

(2) 如图所示离子从坐标原点 $O$ 沿 $z$ 轴正方向进入磁场 I 中, 由洛伦兹力提供向心力可得
$
q v B=\frac{m v^2}{r_1}
$

离子经过磁场 I 偏转后从 $y$ 轴进入磁场 II 中, 由洛伦兹力提供向心力可得 $q v \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} B=\frac{m v^2}{r_2}$ 可得 $r_2=\sqrt{2} r_1$.
为了使离子在磁场中运动, 需满足 $r_1 \leq d, r_2 \leq 3 d$ 联立可得 $v \leq \frac{q B d}{m}$
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动, 进入磁场时的最大速度为 $\frac{q B d}{m}$ ；

(3)

离子甲以 $\frac{q B d}{2 m}$ 的速度从 $O$ 点沿 $z$ 轴正方向第一次穿过 $x O y$ 面进入磁场 $\mathrm{I}$, 离子在磁场 $\mathrm{I}$ 中的轨迹半径为 $r_1=\frac{m v}{q B}=\frac{d}{2}$

离子在磁场 II 中的轨迹半径为 ${r_2}=\frac{m v}{q \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} B}=\frac{\sqrt{2} d}{2}$.
离子从 $O$ 点第一次穿过到第四次穿过 $x O y$ 平面的运动情景, 如图所示.
离子第四次穿过 $x O y$ 平面的 $x$ 坐标为 $x_4=2 r_2 \sin 45^{\circ}=d$.
离子第四次穿过 $x O y$ 平面的 $y$ 坐标为 $y_4=2 r_1=d$.
故离子第四次穿过 $x O y$ 平面的位置坐标为 $(d, d, 0)$.

(4) 设离子乙的速度为 $v^{\prime}$, 根据离子甲、乙动能相同, 可得 $\frac{1}{2} m v^2=\frac{1}{2} \times 4 m v^{\prime 2}$.
可得 $v^{\prime}=\frac{v}{2}=\frac{q B d}{4 m}$.

离子甲在磁场 I 中的轨迹半径为 $r_1=\frac{m v}{q B}=\frac{d}{2}$. 离子甲在磁场 II 中的轨迹半径为 $r_2=\frac{m v}{q \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} B}=\frac{\sqrt{2} d}{2}$. 离子乙在磁场 I 中的轨迹半径为 $r_1^{\prime}=\frac{m v^{\prime}}{q B}=\frac{d}{4}=\frac{1}{2} r_1$. 离子乙在磁场 II 中的轨迹半径为 $r_2^{\prime}=\frac{m v^{\prime}}{q \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} B}=\frac{\sqrt{2} d}{4}=\frac{1}{2} r_2$

根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示
从 $O$ 点进入磁场到第一个交点的过程, 有
$$
\begin{gathered}
t_{\text {甲 }}=\frac{1}{2} T_1+\frac{1}{2} T_2=\frac{1}{2} \times \frac{2 \pi m}{q B}+\frac{1}{2} \times \frac{2 \pi m}{q \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} B}=(1+\sqrt{2}) \frac{\pi m}{q B} \\
t_{\text {乙 }}=T_1^{\prime}+T_2^{\prime}=\frac{2 \pi \cdot 4 m}{q B}+\frac{2 \pi \cdot 4 m}{q \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} B}=(8+8 \sqrt{2}) \frac{\pi m}{q B}
\end{gathered}
$$
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为 $\Delta t=t_{\text {乙 }}-t_{\text {甲 }}=(7+7 \sqrt{2}) \frac{\pi m}{q B}$

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