如图, 在平面直角坐标系中, 已知抛物线 $y=x^2+b x+c$ 与直线 $\mathrm{AB}$ 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 其中 $A(-3,-4)$, $B(0,-1)$
（1）求该抛物线的函数表达式;
(2) 点 $\mathrm{P}$ 为直线 $\mathrm{AB}$ 下方抛物线上的任意一点, 连接 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$, 求 $\triangle P A B$ 面积的最大值;
(3) 将该抛物线向右平移 2 个单位长度得到抛物线 $y=a_1 x^2+b_1 x+c_1\left(a_1 \neq 0\right)$, 平移后的抛物线与原抛物 线相交于点 $C$, 点 $D$ 为原抛物线对称轴上的一点, 在平面直角坐标系中是否存在点 $E$, 使以点 $B, C, D, E$ 为顶点的四边形为菱形, 若存在, 请直接写出点 $E$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
（1）求该抛物线的函数表达式;
(2) 点 $\mathrm{P}$ 为直线 $\mathrm{AB}$ 下方抛物线上的任意一点, 连接 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$, 求 $\triangle P A B$ 面积的最大值;
(3) 将该抛物线向右平移 2 个单位长度得到抛物线 $y=a_1 x^2+b_1 x+c_1\left(a_1 \neq 0\right)$, 平移后的抛物线与原抛物 线相交于点 $C$, 点 $D$ 为原抛物线对称轴上的一点, 在平面直角坐标系中是否存在点 $E$, 使以点 $B, C, D, E$ 为顶点的四边形为菱形, 若存在, 请直接写出点 $E$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.