重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, 在平面直角坐标系中, 已知抛物线 $y=x^2+b x+c$ 与直线 $\mathrm{AB}$ 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 其中 $A(-3,-4)$, $B(0,-1)$
（1）求该抛物线的函数表达式;
(2) 点 $\mathrm{P}$ 为直线 $\mathrm{AB}$ 下方抛物线上的任意一点, 连接 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$, 求 $\triangle P A B$ 面积的最大值;
(3) 将该抛物线向右平移 2 个单位长度得到抛物线 $y=a_1 x^2+b_1 x+c_1\left(a_1 \neq 0\right)$, 平移后的抛物线与原抛物线相交于点 $C$, 点 $D$ 为原抛物线对称轴上的一点, 在平面直角坐标系中是否存在点 $E$, 使以点 $B, C, D, E$ 为顶点的四边形为菱形, 若存在, 请直接写出点 $E$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

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我来讲解

答案：

解: (1) $\because$ 抛物线过 $A(-3,-4), B(0,-1)$
$$
\begin{aligned}
& \therefore\left\{\begin{array}{c}
9-3 b+c=-4 \\
c=-1
\end{array}\right. \\
& \therefore\left\{\begin{array}{c}
b=4 \\
c=-1
\end{array}\right. \\
& \therefore y=x^2+4 x-1
\end{aligned}
$$
(2) 设 $y_{A B}=k x+b$, 将点 $A(-3,-4) B(0,-1)$ 代入 $y_{A B}$
$$
\therefore y_{A B}=x-1
$$
过点 $P$ 作 $x$ 牰得垂线与直线 $A B$ 交于点 $F$

设点 $P\left(a, a^2+4 a-1\right)$, 则 $F(a, a-1)$
由铅垂定理可得
$$
\begin{gathered}
S_{\triangle P A B}=\frac{1}{2}|P F| \cdot\left|x_B-x_A\right| \\
=\frac{3}{2}\left(a-1-a^2-4 a+1\right) \\
=\frac{3}{2}\left(-a^2-3 a\right) \\
=-\frac{3}{2}\left(a+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{27}{8}
\end{gathered}
$$

$\therefore \triangle P A B$ 面积最大值为 $\frac{27}{8}$
（3）(3）抛物线的表达式为: $y=x^2+4 x-1=(x+2) 2-5$, 则平移后的抛物线表达式为: $\mathrm{y}=\mathrm{x}^2-5$,
联立上述两式并解得: $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=-4\end{array}\right.$, 故点 C $(-1,-4)$;

设点 $\mathrm{D}(-2, \mathrm{~m})$ 、点 $\mathrm{E}(\mathrm{s}, \mathrm{t})$, 而点 $B 、 C$ 的坐标分别为 $(0,-1) 、(-1,-4)$;
(1) 当 $\mathrm{BC}$ 为菱形的边时,
点 $\mathrm{C}$ 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到 $\mathrm{B}$, 同样 $\mathrm{D}(\mathrm{E})$ 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到 $\mathrm{E}$
(D),
即 $-2+1=s$ 且 $m+3=t(1)$ 或 $-2-1=s$ 且 $m-3=t$ (2),
当点 $\mathrm{D}$ 在 $\mathrm{E}$ 的下方时, 则 $\mathrm{BE}=\mathrm{BC}$, 即 $\mathrm{s}^2+(t+1)^2=1^2+3^2(3)$,
当点 $\mathrm{D}$ 在 $\mathrm{E}$ 的上方时, 则 $\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$, 即 $2^2+(\mathrm{m}+1){ }^2=1^2+3^2(4)$,
联立(1)(3)并解得: $\mathrm{s}=-1, \mathrm{t}=2$ 或 4 (舍去 $-4$ ), 故点 $\mathrm{E}(-1,2)$;
联立(2)(4)并解得: $s=-3, t=-4 \pm \sqrt{6}$, 故点 $\mathrm{E}(-3,-4+\sqrt{6})$ 或 $(-3,-4-\sqrt{6})$;
(2)当 $\mathrm{BC}$ 为菱形的的对角线时,
则由中点公式得: $-1=\mathrm{s}-2$ 且 $-4-1=m+t(5)$,
此时, $\mathrm{BD}=\mathrm{BE}$, 即 $2^2+(\mathrm{m}+1)^2=\mathrm{s}^2+(\mathbf{t}+1)^2(6)$,
联立(5)(6)并解得: $s=1, t=-3$,
故点 E $(1,-3)$,
综上, 点 $\mathrm{E}$ 的坐标为: $(-1,2)$ 或 $(-3,-4+\sqrt{6})$, 或 $(-3,-4-\sqrt{6})$ 或 $(1,-3)$.
$\therefore$ 存在, $E_1(-1,2), E_2(-3,-4+\sqrt{6}), E_3(-3,-4-\sqrt{6}), E_4(1,-3)$
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用, 涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等, 其中 (3), 要注意分类求解, 避免遗漏.

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