如图, 已知椭圆 $\frac{x^2}{12}+y^2=1$. 设 $A, B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点, 且点 $Q\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 在线段 $A B$ 上, 直线 $P A, P B$ 分别交直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 于 $C, D$ 两点.
(1) 求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值;
(2) 求 $|C D|$ 的最小值.
(1) 求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值;
(2) 求 $|C D|$ 的最小值.