答案：
|【小问 1 详解】
设 $Q(2 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ 是椭圆上任意一点, $P(0,1)$, 则
$$
|P Q|^2=12 \cos ^2 \theta+(1-\sin \theta)^2=13-11 \sin ^2 \theta-2 \sin \theta=-11\left(\sin \theta+\frac{1}{11}\right)^2+\frac{144}{11} \leq \frac{144}{11}
$$
, 当且仅当 $\sin \theta=-\frac{1}{11}$ 时取等号, 故 $|P Q|$ 的最大值是 $\frac{12 \sqrt{11}}{11}$.
【小问 2 详解】
设直线 $A B: y=k x+\frac{1}{2}$, 直线 $A B$ 方程与椭圆 $\frac{x^2}{12}+y^2=1$ 联立, 可得
$\left(k^2+\frac{1}{12}\right) x^2+k x-\frac{3}{4}=0$, 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-\frac{k}{k^2+\frac{1}{12}} \\ x_1 x_2=-\frac{3}{4\left(k^2+\frac{1}{12}\right)}\end{array}\right.$
因为直线 $P A: y=\frac{y_1-1}{x_1} x+1$ 与直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 交于 $C$,
则 $x_C=\frac{4 x_1}{x_1+2 y_1-2}=\frac{4 x_1}{(2 k+1) x_1-1}$, 同理可得, $x_D=\frac{4 x_2}{x_2+2 y_2-2}=\frac{4 x_2}{(2 k+1) x_2-1}$. 则
$$
\begin{aligned}
& |C D|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}\left|x_C-x_D\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}\left|\frac{4 x_1}{(2 k+1) x_1-1}-\frac{4 x_2}{(2 k+1) x_2-1}\right| \\
& =2 \sqrt{5}\left|\frac{x_1-x_2}{\left[(2 k+1) x_1-1\right]\left[(2 k+1) x_2-1\right]}\right|=2 \sqrt{5}\left|\frac{x_1-x_2}{(2 k+1)^2 x_1 x_2-(2 k+1)\left(x_1+x_2\right)+1}\right| \\
& =\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{16 k^2+1}}{|3 k+1|}=\frac{6 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{16 k^2+1} \sqrt{\frac{9}{16}+1}}{|3 k+1|} \geq \frac{6 \sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{\left(4 k \times \frac{3}{4}+1 \times 1\right)^2}}{|3 k+1|}=\frac{6 \sqrt{5}}{5},
\end{aligned}
$$
当且仅当 $k=\frac{3}{16}$ 时取等号, 故 $|C D|$ 的最小值为 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$.