已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 过点 $\left(1, \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$, 且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 已知直线 $l: y=m x+2$ 与椭圆交于不同的两点 $P, Q$, 那么在 $x$ 轴上是否存在点 $M$, 使 $M P=M Q$ 且 $M P \perp M Q$, 若存在, 求出该直线的方程; 若不存在, 请说明理由.