椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{3}=1(m>0, m \neq \sqrt{3})$
(1) 若 $m=2$, 求椭圆 $\Gamma$ 的离心率;
(2) 设 $A_1 、 A_2$ 为椭圆 $\Gamma$ 的左右顶点, 椭圆 $\Gamma$ 上一点 $E$ 的纵坐标为 1 , 且 $\overrightarrow{E A_1} \cdot \overrightarrow{E A_2}=-2$, 求 $m$ 的值;
(3) 过椭圆 $\Gamma$ 上一点 $P$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线, 与双曲线 $\frac{y^2}{5 m^2}-\frac{x^2}{5}=1$ 有一个公共点, 求 $m$ 的取值范围.