椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{3}=1(m > 0, m \neq \sqrt{3})$
(1) 若 $m=2$, 求椭圆 $\Gamma$ 的离心率;
(2) 设 $A_1 、 A_2$ 为椭圆 $\Gamma$ 的左右顶点, 椭圆 $\Gamma$ 上一点 $E$ 的纵坐标为 1 , 且 $\overrightarrow{E A_1} \cdot \overrightarrow{E A_2}=-2$, 求 $m$ 的值;
(3) 过椭圆 $\Gamma$ 上一点 $P$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线, 与双曲线 $\frac{y^2}{5 m^2}-\frac{x^2}{5}=1$ 有一个公共点, 求 $m$ 的取值范围.
【答案】 (1) $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$;
(2) $A_1(m, 0), A_2(-m, 0)$, 设 $E(p, 1), \therefore \frac{p^2}{m^2}+\frac{1}{3}=1$, 即 $p^2=\frac{2}{3} m^2$ 由 $\overrightarrow{E A_1}=(m-p,-1), \overrightarrow{E A_2}=(-m-p,-1), \therefore \overrightarrow{E A}_1 \cdot \overrightarrow{E A_2}=p^2-m^2+1=-2$, $\because p^2=\frac{2}{3} m^2$, 代入求得 $m=3$
(3) 设直线 $y=\sqrt{3} x+t$, 联立椭圆可得 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{(\sqrt{3} x+t)^2}{3}=1$, 整理得 $\left(3 m^2+3\right) x^2+2 \sqrt{3} t m^2 x+\left(t^2-3\right) m^2=0$, 由 $\Delta \geq 0 \Rightarrow t^2 \leq 3 m^2+3$, 联立双曲线可得 $\frac{(\sqrt{3} x+t)^2}{5 m^2}-\frac{x^2}{5}=1$, 整理得 $\left(3-m^2\right) x^2+2 \sqrt{3} t x+\left(t^2-5 m^2\right)=0$, 由 $\Delta=0 \Rightarrow t^2=5 m^2-15$, ..(2), 结合(1)(2)可得, $5 m^2-15 \leq 3 m^2+3 \Rightarrow-3 \leq m \leq 3$, $5 m^2-15 \geq 0 \Rightarrow m \geq \sqrt{3}, \because m \neq \sqrt{3}$, 综上所述, $m \in(\sqrt{3}, 3]$


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