已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right]$ 上单调，且 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{4 \pi}{3}\right)=-f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $\omega$ 的取值可能为（ ）
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{7}{5}$
C. $\frac{9}{5}$
D. $\frac{12}{7}$