已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right]$ 上单调，且 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{4 \pi}{3}\right)=-f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $\omega$ 的取值可能为（ ）
A
$\frac{3}{5}$
B
$\frac{7}{5}$
C
$\frac{9}{5}$
D
$\frac{12}{7}$
E
F