已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x+\mathrm{e}^3 a$, 其中 $-\frac{6}{5} \leqslant a < \frac{3}{\mathrm{e}^3}-1$, 函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的零点为 $x_0$, 函数 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}x+a-\frac{x-a}{\mathrm{e}^x}, 0 \leqslant x \leqslant x_0, \\ (1-x) \ln x-a(x+1), x>x_0 .\end{array}\right.$
(1)证明：
(1) $3 < x_0 < 4$;
(2) 函数 $g(x)$ 有两个零点;
(2) 设 $g(x)$ 的两个零点为 $x_1, x_2\left(x_1 < x_2\right)$, 证明: $\frac{\mathrm{e}^{x_2}-x_2}{\mathrm{e}^{x_1}-x_1}>\mathrm{e}^{\frac{x_1+x_2}{2}}$.
(参考数据: $\mathrm{e} \approx 2.72, \mathrm{e}^2 \approx 7.39, \mathrm{e}^3 \approx 20.09, \ln 2 \approx 0.69, \ln 3 \approx 1.1$ )