已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等敫数列, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列, 且 $b_n \in \mathbf{N}^*$, 若 $a_1=b_2=2, a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3+b_4=15$.
（1）求数列 $\left.\left\{a_n\right\}, \mid b_n\right\}$ 的通项公式;
（2） 设由 $\left.\left\{a_n\right\}, \mid b_n\right\}$ 的公共项构成的新数列记为 $\left\{c_n\right\}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 5 项之和 $S_{5^*}$.