已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等敫数列, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列, 且 $b_n \in \mathbf{N}^*$, 若 $a_1=b_2=2, a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3+b_4=15$.
(1)求数列 $\left.\left\{a_n\right\}, \mid b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设由 $\left.\left\{a_n\right\}, \mid b_n\right\}$ 的公共项构成的新数列记为 $\left\{c_n\right\}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 5 项之和 $S_{5^*}$.
【答案】 解: (1) 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的公比为 $q$,
则 $\left\{\begin{array}{l}a_1=2 \\ 2 a_1+3 d=13\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a_1=2 \\ d=3\end{array} \Rightarrow a_n=3 n-1\right.\right.$,

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
b_1 q=2 \\
b_1+b_1 q^2+b_1 q^3=13
\end{array} \Rightarrow 2 q^3+2 q^2-13 q+2=0 \Rightarrow(q-2)\left(2 q^2+6 q-1\right)=0,\right. \\
& b_n \in \mathbf{N}^* \Rightarrow q=2, b_1=1 \Rightarrow b_n=2^{n-1} . \\
&
\end{aligned}
$$
(2) 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的第 $m$ 项与数列 $\left\{b_n\right\}$ 的第 $n$ 项相等,
则 $a_m=b_n \Rightarrow 3 m-1=2^{n-1}, m, n \in \mathbf{N}^*$,
$$
\Rightarrow 4 b_n=12 m-4 \Rightarrow b_{n+2}=3(4 m-1)-1 \text {, }
$$
又 $m \in \mathbf{N}^* \Rightarrow 4 m-1 \in \mathbf{N}^*$,
则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的第 $4 m-1$ 项与数列 $\left\{b_n\right\}$ 的第 $n+2$ 项相等,
则 $\frac{c_{n+1}}{c_n}=4 \Rightarrow$ 数列 $\left\{c_n\right\}$ 是公比为 4 的等比数列,
易知 $c_1=2 \Rightarrow c_n=2 \times 4^{n-1}$,
故 $\left\{c_n\right\}$ 的前 5 项之和 $S_5=2+8+32+128+512=682$.
注: 也可以把数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的前 5 项公共项罗列出来求和.


系统推荐