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已知函数 $f(x)=\frac{\ln x+a}{x}-\frac{a}{2}(a \in \mathbf{R})$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $f(x)$ 切线斜率的最小值；
（2）若 $g(x)=x^2 f(x)$ 有两个不同的极值点 $X_1, x_2$ ．
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）求证：$x_1 x_2>\mathrm{e}^{-2 a}$ ．
                        
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