若斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 过双曲线 $C: y^2-\frac{x^2}{4}=1$ 的上焦点 $F$, 与双曲线 $C$ 的上支交于 $A, B$ 两点, $\overrightarrow{F A}+3 \overrightarrow{F B}$ $\overrightarrow{0}$, 则 $k$ 的值为
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{19}}{19}$