若斜率为 $k(k > 0)$ 的直线 $l$ 过双曲线 $C: y^2-\frac{x^2}{4}=1$ 的上焦点 $F$, 与双曲线 $C$ 的上支交于 $A, B$ 两点, $\overrightarrow{F A}+3 \overrightarrow{F B}$ $\overrightarrow{0}$, 则 $k$ 的值为
$ \text{A.} $ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \text{B.} $ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $ \text{C.} $ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ $ \text{D.} $ $\frac{\sqrt{19}}{19}$
【答案】 D

【解析】 设直线 $l$ 的倾斜角为 $\theta$, 由双曲线的定义和几何性质易得: $\left|A F \vDash \frac{e p}{1-e \sin \theta},\right| B F \vDash$ $\frac{e p}{1+e \sin \theta}$, (其中 $e=\sqrt{5}$ 为离心率, $p$ 为焦准距), 依题意得 $\frac{1+e \sin \theta}{1-e \sin \theta}=3 \Rightarrow e \sin \theta$ $=\frac{1}{2} \Rightarrow \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{5}}$, 从而 $k=\tan \theta=\frac{\sqrt{19}}{19}$, 故选 D.
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