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已知命题 $p: \forall x \in R, x^2+2 x+a \geqslant 0$ ，命题 $q: \exists x \in\left\{x \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\right.\right\}, x^2-a \geqslant 0$ ．若命题 $p$ 和命题 $q$ 至少有一个为真命题，求实数 $a$ 的取值范围．
                        
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