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设 $a_n>0$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)$ 收敛，数列 $\left\{y_n\right\}: y_1=1,2 y_{n+1}=y_n+\sqrt{y_n^2+a_n}(n=1,2, \cdots)$. 证明: $\left\{y_n\right\}$ 是单调增加的且收敛的数列.
                        
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