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设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=1, x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}\left(n \in \mathbb{Z}^{+}\right)$， 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在且求极限值 $A$.
                        
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