设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=1, x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}\left(n \in \mathbb{Z}^{+}\right)$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在且求极限值 $A$.
【答案】 【参考证明】: 由 $x_1=1, x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}=1+\frac{1}{x_n+1}$ ,从而 可知 $1 \leq x_n < 2$ , 即数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界.
由题意可知 $x_n > 0$ 且
$$
\begin{aligned}
0 & \leq\left|x_n-\sqrt{2}\right|=\left|\frac{x_{n-1}+2}{x_{n-1}+1}-\sqrt{2}\right| \\
&=\frac{\sqrt{2}-1}{x_{n-1}+1}\left|x_{n-1}-\sqrt{2}\right| < (\sqrt{2}-1)\left|x_{n-1}-\sqrt{2}\right| \\
& < \cdots < (\sqrt{2}-1)^{n-1}\left|x_1-\sqrt{2}\right|=(\sqrt{2}-1)^n
\end{aligned}
$$
由于 $0 < \sqrt{2}-1 < 1$ ,故 $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{2}-1)^n=0$. 故由夹逼定理可 知 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_n-\sqrt{2}\right|=0$ , 即 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\sqrt{2}$.


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