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若正整数 $k$ 满足 $\left(\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 25^{\circ}}+\frac{\sin 25^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} \cdot \mathrm{i}\right)^k \in \mathbf{R}$（i 为虚数单位），则 $k$ 的最小值为
                        
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