如图 14－4 所示，在平行四边形 $A B C D$ 中，$A B=4, \angle B A D$的平分线与 $B C$ 的延长线交于点 $E$ ，与 $D C$ 交于点 $F$ ，且点 $F$ 为边 $D C$ 的中点，$D G \perp A E$ ，垂足为 $G$ ，若 $D G=1$ ，则 $A E$ 的边长为 （ ）．
A. $2 \sqrt{3}$
B. $4 \sqrt{3}$
C. 4
D. 8