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设数列 $a_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} d x$ ．
（1）证明：$\frac{1}{2(n+1)} \leqslant a_n \leqslant \frac{1}{2 n}, n=1,2, \cdots$ ；
（2）讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{2 n}-\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} d x\right)$ 的敛散性，若收敛，请说明是条件收敛还是绝对收敛．
                        
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