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设 $z=z(x, y)$ 存在二阶连续的偏导数，且 $z(x, y) \neq 0$ ，证明：$z(x, y)= f(x) g(y)$ 的充分必要条件是 $z(x, y) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
                        
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