如图，一张长、宽分别为 $\sqrt{2}, 1$ 的矩形纸，$A, B, C, D$ 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得 $P_1, P_2, P_3, P_4$ 四点重合为一点 $P$ ，从而得到一个多面体，则
A. 在该多面体中，$B D=\sqrt{2}$
B. 该多面体是三棱锥
C. 在该多面体中，平面 $B A D \perp$ 平面 $B C D$
D. 该多面体的体积为 $\frac{1}{12}$