已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,0 < \varphi < \pi), f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$, 且对任意 $x \in R$ 均有 $f(x) \leq\left|f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right|, f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递减, 则下列说法正确的有
A. 函数 $f(x)$ 为偶函数
B. 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$
C. 若 $f(x)=\frac{1}{3}(x \in[0,2 \pi])$ 的根为 $x_i(i=1,2, \cdots, n)$, 则 $\sum_{i=1}^n x_i=4 \pi$
D. 若 $f(2 x)>f(x)$ 在 $(m, n)$ 上恒成立, 则 $n-m$ 的最大值为 $\frac{\pi}{3}$