题号:2651    题型:多选题    来源:河北省 2023 届高三学生全过程纵向评价 (一)
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega > 0,0 < \varphi < \pi), f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$, 且对任意 $x \in R$ 均有 $f(x) \leq\left|f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right|, f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递减, 则下列说法正确的有
$A.$ 函数 $f(x)$ 为偶函数 $B.$ 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$ $C.$ 若 $f(x)=\frac{1}{3}(x \in[0,2 \pi])$ 的根为 $x_i(i=1,2, \cdots, n)$, 则 $\sum_{i=1}^n x_i=4 \pi$ $D.$ 若 $f(2 x) > f(x)$ 在 $(m, n)$ 上恒成立, 则 $n-m$ 的最大值为 $\frac{\pi}{3}$
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答案:
ACD

解析:

$\because f(x)$ 有对称中心 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$, 有对称轴 $x=\frac{\pi}{2}$, 又在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增, $\therefore \frac{T}{4}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$, $\therefore T=\pi, \omega=2 \quad \therefore \mathrm{B}$ 错.
$$
f(x)=\sin (2 x+\varphi), f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(2 \times \frac{\pi}{4}+\omega\right)=0 \quad \because 0 < \varphi < \pi \quad \therefore \varphi=\frac{\pi}{2}
$$
$\therefore f(x)=\cos 2 x$ 为偶函数 $\therefore$ A对.
$f(x)=\frac{1}{3}$ 在 $x \in[0,2 \pi]$ 上有 4 个根, 且 $x_1+x_2=\frac{\pi}{2} \times 2=\pi, x_3+x_4=\frac{3 \pi}{2} \times 2=3 \pi \therefore \sum_{i=1}^4 x_i=4 \pi \therefore \mathrm{C}$ 对;
由 $f(2 x) > f(x)$ 得 $\cos 4 x > \cos 2 x$, 即 $\cos 4 x-\cos 2 x=2 \cos ^2 2 x-\cos 2 x-1 > 0$,
得 $\cos 2 x < -\frac{1}{2} \quad \therefore 2 k \pi+\frac{2 \pi}{3} < 2 x < 2 k \pi+\frac{4 \pi}{3}, k \in Z \quad \therefore x \in\left(k \pi+\frac{\pi}{3}, k \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)$,
$\therefore n-m$ 的最大值为 $\frac{\pi}{3} \therefore \mathrm{D}$ 对 ; 综上选 $\mathrm{ACD}$.
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