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已知二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ ，且满足 $f(0)=2, f(x+1)-f(x)=2 x+1$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的解析式；
（2）当 $x \in[t, t+2](t \in R )$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值 $g(t)$（用 $t$ 表示）．
                        
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