设函数 $f(x)=\ln |2 x+1|-\ln |2 x-1|$ ，则 $f(x)(\quad)$
A. 是偶函数，且在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 单调递增
B. 是奇函数，且在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 单调递减
C. 是偶函数，且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递增
D. 是奇函数，且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递减