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正项等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_3, a_1,-a_2$ 成等差数列，且存在两项 $a_m, a_n\left(m, n \in N^*\right)$ 使得 $\sqrt{a_m \cdot a_n}=4 a_1$ ，则 $\frac{1}{m}+\frac{5}{n}$ 的最小值是（ ）
A. 2
B. $\frac{7}{4}$
C. $1+\frac{\sqrt{5}}{3}$
D. 不存在
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