正项等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_3, a_1,-a_2$ 成等差数列，且存在两项 $a_m, a_n\left(m, n \in N^*\right)$ 使得 $\sqrt{a_m \cdot a_n}=4 a_1$ ，则 $\frac{1}{m}+\frac{5}{n}$ 的最小值是（ ）
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{7}{4}$
$\text{C.}$ $1+\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{D.}$ 不存在
$\text{E.}$
$\text{F.}$