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已知函数 $f(x)=x+\frac{4}{x}, g(x)=2^x+a$ ．若 $\forall x_1 \in\left[\frac{1}{2}, 1\right], \exists x_2 \in[2,3]$ ，使得 $f\left(x_1\right) \geqslant g\left(x_2\right)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．
                        
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