命题 $p$ ：已知 $a>1, ~ \exists x>0$ ，使得 $x+\frac{a}{x} \leqslant 1$ ，则该命题的否定为（ ）
A. 已知 $a \leqslant 1, \forall x \leqslant 0$ ，使得 $x+\frac{a}{x} \geqslant 1$
B. 已知 $a>1, \forall x>0$ ，使得 $x+\frac{a}{x}>1$
C. 已知 $a \leqslant 1, \exists x>0$ ，使得 $x+\frac{a}{x} \geqslant 1$
D. 已知 $a>1, \exists x \leqslant 0$ ，使得 $x+\frac{a}{x}>1$